[자산배분 전략]리스크 패리티(Risk Parity) -2

※ 리스크 패리티 증명 및 산출 1탄 : https://gjstory.tistory.com/13

1. 자산이 2개일 때 리스크 패리티 자산 비중 산출

$R_1$ : 자산1의 수익률
$R_2$ : 자산2의 수익률
$R_p$ : 자산1과 자산2로 이뤄진 포트폴리오의 수익률
$w_1$ : 자산1의 비중
$w_1$ : 자산2의 비중

$$ R_p = w_1*R_1 + w_2*R_2 $$

따라서 포트폴리오의 표준편차는 다음과 같이 전개될 수 있다.

$$\begin{align*}
\sigma_{p}^2 &= Var(R_p) \\
\\
Var(R_p) &= Var(w_1R_1 + w_2R_2) \\
&= Var(w_1R_1) + Var(w_2R_2) + 2Cov(w_1R_1, w_2R_2) \\
&= w_1^2Var(R_1) + w_2^2Var(R_2) + 2w_1w_2Cov(R_1, R_2) \\
\\
\sigma_{p} &= \sqrt{w_1^2Var(R_1) + w_2^2Var(R_2) + 2w_1w_2Cov(R_1, R_2)} \\
&= \sqrt{w_1^2\sigma_{1}^2 + w_2^2\sigma_2^2 + 2w_1w_2\sigma_{12}}
\end{align*}$$

이제 포트폴리오의 표준편차를 각 자산의 비중으로 편미분을 하면, Marginal Risk Contribution이 산출된다.
그러기 전에 리스크패리티 1탄에서 산출했던 함수 미분을 참고하도록 하겠다.

※참고
$\begin{align*}
\frac{\partial f(x)^{1/2}}{\partial x} &= \frac{1}{2}f(x)^{-1/2}f'(x) \\
&= \frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}
\end{align*}$

위의 함수 미분을 적용할 때, $f(x) = \sigma_p^2$ 라고 생각하면 된다.
자산1의 MRC는 다음과 같다.

$$\begin{align*}
MRC_1 &= \frac{\partial \sigma_p}{\partial w_1} \\
&= \frac{ \frac{\partial \sigma_p^2}{\partial w_1} }{2\sigma_{p}} \\
&= \frac{2w_1\sigma_{1}^2 + 2w_2\sigma_{12}}{2\sigma_{p}} \\
&= \frac{w_1\sigma_{1}^2 + w_2\sigma_{12}}{\sigma_{p}}
\end{align*}$$

자산1의 RC는 다음과 같다.

$$\begin{align*}
RC_1 &= w_1 * MRC_1 \\
&= w_1 * \frac{w_1\sigma_{1}^2 + w_2\sigma_{12}}{\sigma_{p}} \\
&= \frac{w_1^2\sigma_{1}^2 + w_1w_2\sigma_{12}}{\sigma_{p}}
\end{align*}$$

자산2의 RC도 마찬가지의 형태를 가지며, 자산1과 자산2의 RC를 정리하자면 다음과 같다.

$$\begin{align*}
RC_1 &= \frac{w_1^2\sigma_{1}^2 + w_1w_2\sigma_{12}}{\sigma_{p}} \\
RC_2 &= \frac{w_2^2\sigma_{2}^2 + w_1w_2\sigma_{12}}{\sigma_{p}}
\end{align*}$$

리스크패리티 정의에 맞게 각 자산의 Risk Contribution은 같아야 하며, 모든 자산 비중의 합은 1이어야 한다.

$$\begin{align}
w_1 + w_2 = 1 \\
RC_1 = RC_2
\end{align}$$

위 식에서 (2)를 먼저 $w_1$에 대해 정리하면 다음과 같다.

$$\begin{align*}
RC_1 &= RC_2 \\
\frac{w_1^2\sigma_{1}^2 + w_1w_2\sigma_{12}}{\sigma_{p}}
&= \frac{w_2^2\sigma_{2}^2 + w_1w_2\sigma_{12}}{\sigma_{p}} \\
w_1^2\sigma_{1}^2 &= w_2^2\sigma_{2}^2 \\
w_1\sigma_{1} &= w_2\sigma_{2} \\
w_1 &= \frac{w_2\sigma_{2}}{\sigma_{1}}
\end{align*}$$

(1)도 $w_1$에 대해 정리하면 다음과 같다.

$$w_1 = 1 - w_2$$

(1)과 (2)를 정리한 값을 이용하면 다음과 같이 각 자산의 비중이 산출된다.

$$\begin{align*}
\frac{w_2\sigma_{2}}{\sigma_{1}} &= 1 - w_2 \\
w_2\sigma_{2} &= \sigma_{1}(1 - w_2) \\
w_2(\sigma_{1} + \sigma_{2}) &= \sigma_{1} \\
w_2 &= \frac{\sigma_1}{\sigma_1 + \sigma_2}
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
\therefore w_1 = \frac{\sigma_2}{\sigma_1+\sigma_2} ,
w_2 = \frac{\sigma_1}{\sigma_1+\sigma_2}
\end{align*}$$

이제 자산이 2개일 때는 각 자산의 표준편차만 알아도 간편하게 각 자산의 비중을 알 수 있게 되었다.